平面向量

发布时间:2015-05-07 来源: 平面向量基本定理

第一篇:平面向量

第二章 平面向量 知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算 新疆 源头学子 小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子 小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 1 向量的概念: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a , b , c ??来表示,或用有向线段的 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ??? ? ??? ? ? 起点与终点的大写字母表示,如

AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 新疆 源头学子小屋 http w ww.xjktygcom/w xc/ :// . 特级教师 王新敞 w xck @12 6.com t 新疆 源头学子小屋 http w ww.xjktygcom/w xc/ :// . 特级教师 王新敞 w xck @12 6.com t ??? ? ? ,记作| AB | 即向量的大小, a ? xi ? yj ? ( x, y) 向量的大小即向量的模(长度) ? 记作| a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ? ? ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? 量 a = 0 ? | a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在 王新敞 奎屯 新疆 有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意 与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ? ? 向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1 ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 ④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以 ? ? 移到同一直线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向 量也称为共线向量 ? 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选 取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要 理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记 王新敞 奎屯 新疆 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? x1 ? x 2 ? ? 为 a ? b 大小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 2 向量加法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 求两个向量和的运算叫做向量的加法 ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? 设 AB ? a , BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”

(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量 指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和; 差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时, 用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ? ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连” . 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 3 向量的减法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 ? ? ? ? ? ? ? 关于相反向量有

(i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, ? ? ? ? 记作

a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? ③作图法

a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起 点) 4 实数与向量的积: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; ? ? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a ? ? 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理

? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 6 平面向量的基本定理

? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使

a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 7 特别注意

(1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行 则包括共线(重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与 其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的 运算处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面 向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂 直等 由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查,是知识的交汇点 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 二. 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 ? ? ? 单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? 成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标, ? ? 记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只 与其相对位置有关 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 2 平面向量的坐标运算

? ? ? ? (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ??? ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ? ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) ? ? ? ? (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? ? ? ? (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ? 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运 算的坐标表示和性质 王新敞 奎屯 新疆 ? 运 算 类 型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 几何方法 坐标方法 运算性质 1 平行四边形法则 2 三角形法则 王新敞 奎屯 新疆 ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 王新敞 奎屯 新疆 ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC 三角形法则 ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? ? ? a ? b ? a ? (?b ) ??? ? ??? ? AB ? ? BA ??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB ?a 是一个向量, 满足

? ? ? >0 时, ?a 与 a 同 向; ? ? ? <0 时, ?a 与 a 异 向; ? ? ? =0 时, ?a = 0 王新敞 奎屯 新疆 ? ?a ? (?x, ?y) ? (?a ) ? (?? )a ? ? ? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? (a ? b ) ? ?a ? ?b ? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b ? ? ? ? 向 量 的 数 量 积 ? ? a ? b 是一个数 ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? ( ?a ) ? b ? a ? ( ?b ) ? ? ( a ? b ) ? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0 ? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时, ? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2 ? ? ? ? | a ? b |?| a || b | 三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积

? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? ︱ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? a ?b ? 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对 |a| 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 值称为射影 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? 3 数量积的几何意义

a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? 4 向量的模与平方的关系

a ? a ? a 2 ?| a |2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 5 乘法公式成立

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b ; 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b 2 2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 2 ?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b ? b 6 平面向量数量积的运算律

? ? ? ? ①交换律成立

a ? b ? b ? a 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? ②对实数的结合律成立

? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ? ? ? R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立

a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 特别注意

(1)结合律不成立

a ? b ? c ? a ? b ? c ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 7 两个向量的数量积的坐标运算

? ? ? ? 已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ??? ? ??? ? ? ? ? 8 向 量 的夹角

已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠ AOB= ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ( 0 0 ? ? ? 180 0 )叫做向量 a 与 b 的夹角 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00 ,当且仅当 a 与 b 反方向时θ ? =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 10 两个非零向量垂直的充要条件

? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 巩固练习 给出下列命题

? ? ? ? ① 若| a |=| b |,则 a = b ; ??? ???? ? ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边 例1 形的充要条件; ? ? ? ? ? ? ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ③ ?OA ? OC ? OB ? CO 新疆 源 头学 子 小屋 h t t:pwww.x j k t .c g m x /c // y o /w 特 级教 师 王 新敞 w x c @1 2 .6 o m kt c 新疆 源 头学 子 小屋 h t t:pwww.x j k t .c g m x /c // y o /w 特 级教 师 王 新敞 w x c @1 2 .6 o m kt c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,试 求k 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 4 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b ,v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的 值 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 例 5 已知点 A(4,0), B(4,4), C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原 点)交点 P 的坐标 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ?? ? ? ? ? ? a bd ? 例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 0 , c ? 2 ? , ?b3 a 若 , 试求 c 与 ? d 的夹角 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? ? ? 例 7 已知 a ? ? 4,3? ,b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 例 8 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ ( a ? 2b) ? ( a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。 例 9 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。 ⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向? 例 10 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐 标原点 ⑴求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。 例 11 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 求

OA ? (OB ? OC ) 的最小值。

第一篇:平面向量

高中数学必修 4 知识点归纳 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 平面向量 新疆 源头学子 小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子 小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 一.向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 点的大写字母表示,如

AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y) 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ??? ? ??? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 向 量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a | 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ??? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 王新敞 奎屯 新疆 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量

长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的, 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | 0 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 王新敞 奎屯 新疆 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ? 王新敞 奎屯 新疆 ④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即 新疆 源头学子小屋 /wxc/ ? ? 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ? 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的. 王新敞 奎屯 新疆 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”

(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? . AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连” 3 向量的减法 ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 关于相反向量有

(i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作

a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ③作图法

a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 4 实数与向量的积

? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的 ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 6 平面向量的基本定理: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使

a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 7 特别注意

(1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线 (重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几 何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算 向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 例1 给出下列命题: ① 若| a |=| b |,则 a = b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ② 正确.∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A, C, 是不共线的四点, 四边形 ABCD 为平行四边形; B, D ∴ 反之, 若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | , 因此, AB ? DC . ③ 正确.∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同; 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c . ④ 不正确.当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b | 且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤ 不正确.考虑 b = 0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复 习一方面要构建良好的知识结构, 另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联想. 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简

① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ??? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ③ ?OA ? OC ? OB ? CO ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 解:①原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,试求 k 解:∵ c ∥ d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ∴由向量共线的充要条件得

c =λ d (λ ?R) 即 k a + b =λ ( a +k b ) 又∵ a 、 b 不共线 ∴由平面向量的基本定理 ? ? ? ? ? ? ? ∴(k?λ ) a + (1?λ k) b = 0 ? ? ? ? ?k ? ? ? 0 ? k ? ?1 ?1 ? k? ? 0 二.平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示

在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 轴方向相同的两个单位向量 i , j y 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 作为基底 由平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj , 由于 a 与 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴 上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位 置有关 2 平面向量的坐标运算: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) ? ? ? ? ??? ? ? ? (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示 和性质 ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 运 算 类 型 向 量 几何方法 坐标方法 运算性质 1 平行四边形法则 2 三角形法则 王新敞 奎屯 新疆 ? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? ? ? a ?b ? b ?a 王新敞 奎屯 新疆 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 三角形法则 ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC ? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? ? ? a ? b ? a ? (?b ) ??? ? ??? ? AB ? ? BA ??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a 是一个向量, 满足

? ? ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? ? ? <0 时, ? a 与 a 异向; ? ?a ? (?x, ?y) ? (?a ) ? (?? )a ? ? ? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? =0 时, ? a = 0 王新敞 奎屯 新疆 ? (a ? b ) ? ?a ? ?b ? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b ? ? ? ? 向 量 的 数 量 积 ? ? a ? b 是一个数 ? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b ) ? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0 ? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时, ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? | a ? b |?| a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 1 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:因为 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ? ? 所以 u ? (1, 2) ? 2( x,1) ? (2x ? 1, 4) , v ? 2(1, 2) ? ( x,1) ? (2 ? x,3) ? ? 又因为 u // v 所以 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x) ? 0 ,即 10 x ? 5 1 解得 x ? 2 例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C (2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交 点 P 的坐标 ??? ? ??? ? 解:设 P( x, y) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 即得 OP // OB, AP // AC ??? ? ??? ? 由点 A(4,0), B(4,4),C (2,6) 得, AC ? (?2,6), OB ? (4, 4) 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0 ?x ? 3 解之得 ? ?y ? 3 故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 得方程组 ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? ︱ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射 |a| 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ /wxc/ 影 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 3 数量积的几何意义

a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 4 向量的模与平方的关系

a ? a ? a 2 ?| a |2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 5 乘法公式成立: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a 2 2 2 2 ? ? ?2 2 ?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b 2 6 平面向量数量积的运算律: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ①交换律成立

a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立

? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? 特别注意

(1)结合律不成立

a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ; ②对实数的结合律成立

? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ?? ? ? ? ? (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c ? ? ? ? 不能得到 b ? c ? ? ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 8 向 量 的 夹 角

已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB= ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ??? ? ? ??? ? ? 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ( 0 ? ? ? 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角 0 0 ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? 0 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 10 两个非零向量垂直的充要条件: 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com /wxc/ ? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质 王新敞 奎屯 新疆 例 1 判断下列各命题正确与否

(1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ⑷若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立; 2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 例 2 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 夹角 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 解:由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 , 0 ? ? ? ? 所以, a ? b ? a b cos120 ? ? 0 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 , 1 , 2 ? ?c ? 7, 同理可得? d ? 13 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7 a ? b ? 3b ? 2a ? ? 设 ? 为 c 与 d 的夹角, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 17 , 2 ? ? 则 cos? ? 17 2 7 13 ?? 17 91 17 91 ?? ? ? ? arccos 182 182 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的 值 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 解

m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 52 ? (1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ? ; 9 ? ? 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2 ? ? 2 2 (3) m ? n ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? ? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0 ?? ? 2 ? 2 11 5 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com

第一篇:平面向量

平面向量: 1. 已知向量 a=(1,2),b=(2,0),若向量 λa+b 与向量 c=(1,-2) 共线,则实数 λ 等于( A.-2 C.-1 [答案] C [解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa+b 与 c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3),若 a+2b 与 c 垂直,则 k=( A.-1 C.-3 [答案] C [解析] a+2b=( 3,1)+(0,2)=( 3,3), ∵a+2b 与 c 垂直,∴(a+2b)· c= 3k+3 3=0, ∴k=-3. (理)已知 a=(1,2),b=(3,-1),且 a+b 与 a-λb 互相垂直,则 实数 λ 的值为( 6 A.-11 6 C.11 [答案] C [解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ), 第 1 页 共 21 页 ) 1 B.-3 2 D.-3 ) B.- 3 D.1 ) 11 B.- 6 11 D. 6 ∵a+b 与 a-λb 垂直, 6 ∴(a+b)· (a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=11. 3. 设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量 a、b 间的 夹角为( A.150° C.60° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD 为正三角形, ∴∠BAD=60° ,∴〈a,b〉=120° ,故选 B. ) B.120° D.30° 3 (理)向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 60° ,则 |b|=( 1 A.2 1 C.4 [答案] A 3 3 [解析] ∵|a-b|= 2 ,∴|a|2+|b|2-2a· 4, b= 第 2 页 共 21 页 ) 1 B.3 1 D.5 ∵|a|=1, 〈a,b〉=60° , 3 1 设|b|=x,则 1+x2-x=4,∵x>0,∴x=2. → BC → → 4. 若AB· +AB2=0,则△ABC 必定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B → BC → → → (BC → → AC → → → [解析] AB· +AB2=AB·→ +AB)=AB· =0,∴AB⊥AC, ∴AB⊥AC,∴△ABC 为直角三角形. 5. (文)若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则用 a,b 表示 c 为( ) B.a-3b D.-3a+b ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形 A.-a+3b C.3a-b [答案] B [解析] 设 c=λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ), ?λ+μ=-2 ?λ=1 ? ? ? ∴ ,∴? ,∴c=a-3b,故选 B. ?λ-μ=4 ?μ=-3 ? ? (理)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O,E 是线段 OD 的 → 中点, 的延长线与 CD 交于点 F, → =a, =b, → 等于( AE 若AC BD 则AF 1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b [答案] B → → [解析] ∵E 为 OD 的中点,∴BE=3ED, 2 1 B.3a+3b 1 2 D.3a+3b ) 第 3 页 共 21 页 |AB| |EB| ∵DF∥AB,∴|DF|=|DE|, 1 2 2 ∴|DF|=3|AB|,∴|CF|=3|AB|=3|CD|, 2 → → → → → → 2→ ∴AF=AC+CF=AC+3CD=a+3(OD-OC) 21 1 2 1 =a+3(2b-2a)=3a+3b. → BC → 6. 若△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB· 的值 为( A.19 C.-18 [答案] D [解析] 72+52-62 19 → BC → → → 据已知得 cosB= =35,故AB· =|AB|×|BC 2×7×5 ? ? ) B.14 D.-19 ? 19? |×(-cosB)=7×5×?-35?=-19. 7. 若向量 a=(x-1,2), b=(4, y)相互垂直, 9x+3y 的最小值为( 则 A.12 C.3 2 [答案] D [解析] B.2 3 D.6 ) a· b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9x +3y =32x + 第 4 页 共 21 页 1 3y≥2 32x+y=6,等号在 x=2,y=1 时成立. 8. 若 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,若 O 不在 l 上,存在实数 → → → x 使得 x2OA+xOB+BC=0,实数 x 为( A.-1 -1+ 5 C. 2 [答案] A [解析] → → → → → → → x2OA+xOB+OC-OB=0,∴x2OA+(x-1)OB+OC= B.0 1+ 5 D. 2 ) 0,由向量共线的充要条件及 A、B、C 共线知,1-x-x2=1,∴x=0 → 或-1,当 x=0 时,BC=0,与条件矛盾,∴x=-1. → (AB 9. (文)已知 P 是边长为 2 的正△ABC 边 BC 上的动点,则AP·→ + → AC)( ) B.最小值为 2 D.与 P 的位置有关 A.最大值为 8 C.是定值 6 [答案] C [解析] 以 BC 的中点 O 为原点,直线 BC 为 x 轴建立如图坐标 → → 系,则 B(-1,0),C(1,0),A(0, 3),AB+AC=(-1,- 3)+(1,- 3)=(0,-2 3), → 设 P(x,0),-1≤x≤1,则AP=(x,- 3), → (AB → ∴AP·→ +AC)=(x,- 3)· (0,-2 3)=6,故选 C. 第 5 页 共 21 页 → (理)在△ABC 中,D 为 BC 边中点,若∠A=120° → · =-1, ,AB AC → 则|AD|的最小值是( 1 A.2 C. 2 [答案] D → [解析] ∵∠A=120° → · =-1, ,AB AC → |AC cos120° ∴|AB|·→ |· =-1, → |AC ∴|AB|·→ |=2, → → → |AC ∴|AB|2+|AC|2≥2|AB|·→ |=4, 1 → → 1 → → → → ∵D 为 BC 边的中点,∴AD=2(AB+AC),∴|AD|2=4(|AB|2+|AC 1 1 → AC 1 → → → |2+2AB· )=4(|AB|2+|AC|2-2)≥4(4-2)=2, 2 → ∴|AD|≥ 2 . 10. 如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的图象的最高 ) 3 B.2 2 D. 2 第 6 页 共 21 页 → 点, N 是该图象与 x 轴的交点, → · =0, ω 的值为( M, 若PM PN 则 ) π A.8 C.4 [答案] B π B.4 D.8 → PN → [解析] ∵PM· =0,∴PM⊥PN,又 P 为函数图象的最高点, M、N 是该图象与 x 轴的交点,∴PM=PN,yP=2,∴MN=4,∴T 2π π = ω =8,∴ω=4. 11. 如图, 一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB, 分别交于 E、 AD → 1 → AF 1 → AK → F 两点, 且交其对角线于 K, 其中AE=3AB,→ =2AD,→ =λAC, 则 λ 的值为( ) 1 A.5 1 C.3 [答案] A 1 B.4 1 D.2 第 7 页 共 21 页 [解析] 如图,取 CD 的三等分点 M、N,BC 的中点 Q,则 EF → → ∥DG∥BM∥NQ,易知AK=5AC,∴λ=5. 1 1 12. 已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+4b 与 a-2b 共线,则 m 的值为( 1 A.2 C.-2 [答案] C [解析] ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 由条件知(2m-4)· (-1)-(3m+8)×4=0, ∴m=-2,故选 C. → → 13. 在△ABC 中,C=90° ,且 CA=CB=3,点 M 满足BM=2MA,则 → CB → CM· 等于( A.2 C.4 [答案] B ) B.3 D.6 ) B.2 1 D.-2 第 8 页 共 21 页 → CB → [解析] CM· → → CB → =(CA+AM)· → 1 → CB → =(CA+3AB)· → CB 1 → CB → → =CA· +3AB· 1→ =3|AB|·→ |· |CB cos45° 1 2 =3×3 2×3× 2 =3. → AD → 14. 在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则AB· =________. [答案] 15 2 → → [解析] 由条件知, → |=|AC|=|BC|=3, → ,→ 〉 |AB 〈AB AC =60°〈AB, ,→ 2→ → CB〉=60° → =3CB, ,CD 2 → AD → (AC → → → AC → 2 → → ∴AB · =AB ·→ +CD )=AB · +AB · CB =3×3×cos60° 3 + 3 15 ×3×3×cos60° 2 . = 第 9 页 共 21 页 15. 已知向量 a=(3,4),b=(-2,1),则 a 在 b 方向上的投影等于 __作文______. 2 5 [答案] - 5 a· -2 b 2 5 [解析] a 在 b 方向上的投影为 = =- 5 . |b| 5 2π 16. 已知向量 a 与 b 的夹角为 3 ,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a, 则实数 λ=________. [答案] 1 2π [解析] ∵〈a,b〉= 3 ,|a|=1,|b|=4,∴a· b=|a|· cos〈a, |b|· 2π b〉=1×4×cos 3 =-2,∵(2a+λb)⊥a,∴a· (2a+λb)=2|a|2+λa· b =2-2λ=0,∴λ=1. → → → OB → 17. 已知:|OA|=1,|OB|= 3,OA· =0,点 C 在∠AOB 内,且∠ m → → → AOC=30° ,设OC=mOA+nOB(m,n∈R+),则 n =________. [答案] 3 → → → → → → → [解析] 设 mOA=OF,nOB=OE,则OC=OF+OE, 第 10 页 共 21 页 → cos30° → |=m|OA|=m, → ∵∠AOC=30° ,∴|OC|· =|OF → sin30° → |=n|OB|= 3n, → |OC|· =|OE → m |OC|cos30° 1 m 两式相除得

= =tan30° 3,∴ n =3. = → 3n |OC|sin30° 18. (文)设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴 → → 正方向相同的两个单位向量,且OA=-2i+j,OB=4i+3j,则△ OAB 的面积等于________. [答案] 5 → OB → [解析] 由条件知,i2=1,j2=1,i· j=0,∴OA· =(-2i+j)· (4i → OB → |OB cos〈OA,OB〉=5 5cos → → → +3j)=-8+3=-5,又OA· =|OA|·→ |· → → , 〈OA,OB〉 5 2 5 → → → → ∴cos〈OA,OB〉=- 5 ,∴sin〈OA,OB〉= 5 , 1→ 1 2 5 → → ∴S△OAB=2|OA|·→ |· |OB sin〈OA,OB〉=2× 5×5× 5 =5. (理)三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,能得 出三角形 ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号) 1 ①sinA+cosA=5 → BC → ②AB· <0 ③b=3,c=3 3,B=30° ④ 第 11 页 共 21 页 tanA+tanB+tanC>0. [答案] ④ 1 [解析] 若 A 为锐角,则 sinA+cosA>1,∵sinA+cosA=5,∴A → BC → → BC → 为钝角,∵AB· <0,∴BA· >0,∴∠B 为锐角,由∠B 为锐角得 b c 3 3 3 不出△ABC 为锐角三角形;由正弦定理sinB=sinC得,sin30° sinC, = 3 3 3 3 3 ∴sinC= 2 ,∴C=60° 120° 或 ,∵c· sinB= 2 ,3< 2 <3 3,∴△ ABC 有两解,故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形. ④ 由 tanA+ tanB+ tanC = tan(A+ B)(1 - tanAtanB) + tanC = - tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,及 A、B、C∈(0,π),A +B+C=π 知 A、B、C 均为锐角, ∴△ABC 为锐角三角形. 19. 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x). (1)若 a⊥b,求 x 的值. (2)若 a∥b,求|a-b|. [解析] (1)若 a⊥b, 则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0, 整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 则 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2, 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)| = ?-2?2+02=2, 第 12 页 共 21 页 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), ∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)| = 22+?-4?2=2 5. 1 20. 已知向量 a=(sinx,-1),b=( 3cosx,-2),函数 f(x)=(a+b)· a -2. (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移6上个单位后,再将所得图象上所 有点的横坐标伸长为原来的 3 倍,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x) 的解析式及其对称中心坐标. [解析] (1)f(x)=(a+b)· a-2=a2+a· b-2 1 =sin2x+1+ 3sinxcosx+2-2 = 1-cos2x 3 1 3 1 + 2 sin2x-2= 2 sin2x-2cos2x 2 π =sin(2x-6), 2π ∴周期 T= 2 =π. π π π (2)向左平移6个单位得,y=sin[2(x+6)-6] π =sin(2x+6),横坐标伸长为原来的 3 倍得, 2 π g(x)=sin(3x+6), 2 π 3kπ π 令3x+6=kπ 得对称中心为( 2 -4,0),k∈Z. 21. (文)三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,设 向量 m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),若 m∥n. 第 13 页 共 21 页 (1)求角 B 的大小; (2)若 sinA+sinC 的取值范围. [解析] (1)由 m∥n 知 c-a b-a = c , a+b 即得 b2=a2+c2-ac,据余弦定理知 1 π cosB=2,得 B=3. π (2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+3) 1 3 3 3 =sinA+2sinA+ 2 cosA=2sinA+ 2 cosA π = 3sin(A+6), π 2π 2π ∵B=3,∴A+C= 3 ,∴A∈(0, 3 ), π π 5π π 1 ∴A+6∈(6, 6 ),∴sin(A+6)∈(2,1], 3 ∴sinA+sinC 的取值范围为( 2 , 3]. (理)在钝角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π (2)求函数 y=2sin2B+cos(3-2B)的值域. [解析] (1)由 m∥n 得(2b-c)cosA-acosC=0, 由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0, ∵sin(A+C)=sinB, ∴2sinBcosA-sinB=0, π ∵B、A∈(0,π),∴sinB≠0,∴A=3. 第 14 页 共 21 页 1 3 (2)y=1-cos2B+2cos2B+ 2 sin2B 1 3 π =1-2cos2B+ 2 sin2B=sin(2B-6)+1, 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则 ?π<B<π ?2 ? 2π π ?0< 3 -B<2 ? π 2π ?2<B< 3 , 5π π 7π π 1 1 ∴ 6 <2B-6< 6 ,∴sin(2B-6)∈(-2,2), 1 3 ∴y∈(2,2). 当角 B 为锐角时,角 C 为钝角,则 ?0<B<π ? 2 ?π 2π ?2< 3 -B<π ? π ?0<B<6, π π π π 1 1 ∴-6<2B-6<6,∴sin(2B-6)∈(-2,2), 1 3 ∴y∈(2,2), 1 3 综上,所求函数的值域为(2,2). 22. 设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x),x ∈R. π π (1)若 f(x)=1- 3且 x∈[-3,3],求 x; π (2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m, n)(|m|<2)平移后得到函 数 y=f(x)的图象,求实数 m、n 的值. 第 15 页 共 21 页 [解析] (1)依题设,f(x)=2cos2x+ 3sin2x π =1+2sin(2x+6). π π 3 由 1+2sin(2x+6)=1- 3,得 sin(2x+6)=- 2 , π π π π 5π ∵-3≤x≤3,∴-2≤2x+6≤ 6 , π π π ∴2x+6=-3,即 x=-4. (2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y= 2sin2(x-m)+n 的图象,即函数 y=f(x)的图象. π 由(1)得 f(x)=2sin2(x+12)+1. π π ∵|m|<2,∴m=-12,n=1. → → 23. 已知向量OP=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),OQ=(cosx,-1),f(x) → OQ → =OP· . (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0,2]时,求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 值. [解析] 1), → OQ → ∴f(x)=OP· =(2cosx+1)cosx-(cos2x-sinx+1) =2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1 π =cosx+sinx= 2sin(x+4), ∴函数 f(x)最小正周期 T=2π. π π π 3π (2)∵x∈[0,2],∴x+4∈[4, 4 ], 第 16 页 共 21 页 → → (1)∵OP=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),OQ=(cosx,- π π π π ∴当 x+4=2,即 x=4时,f(x)= 2sin(x+4)取到最大值 2. 24. △ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m= 3 (-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC- 2 ),且 m⊥n. (1)求 A 的大小; (2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c-( 3+1)b=0;③B =45° ,试从中选择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC 的 面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第 一方案给分). [解析] (1)因为 m⊥n, 3 所以-cosBcosC+sinBsinC- 2 =0, 3 3 即 cosBcosC-sinBsinC=- 2 ,所以 cos(B+C)=- 2 , 因为 A+B+C=π,所以 cos(B+C)=-cosA, 3 所以 cosA= 2 ,A=30° . (2)方案一:选择①②,可确定△ABC, 因为 A=30° ,a=1,2c-( 3+1)b=0, 由余弦定理得,12=b2+( 解得 b= 2,所以 c= 3+1 2 3+1 3 b) -2b· 2 b·2 2 6+ 2 2 , 6+ 2 1 3+1 1 1 所以 S△ABC=2bcsinA=2· 2· 2 ·= 4 , 2 方案二:选择①③,可确定△ABC, 第 17 页 共 21 页 因为 A=30° ,a=1,B=45° ,C=105° , 又 sin105°= sin(45°+ 60° = sin45° ) cos60°+ cos45° sin60°= 6+ 2 4 , asinC 1· sin105° 6+ 2 由正弦定理 c= sinA = sin30° = 2 , 6+ 2 2 3+1 1 1 所以 S△ABC=2acsinB=2· 1· 2 ·2 = 4 . (注意:选择②③不能确定三角形) (理)如图,⊙O 方程为 x2+y2=4,点 P 在圆上,点 D 在 x 轴上, → → → 3→ 点 M 在 DP 延长线上,⊙O 交 y 轴于点 N,DP∥ON,且DM=2DP. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 F1(0, 5)、F2(0,- 5),若过 F1 的直线交(1)中曲线 C 于 → F → A、B 两点,求F2A· 2B的取值范围. [解析] (1)设 P(x0,y0),M(x,y), ? 3 ? 2 → =3DP,∴?y=2y0 ,∴?y0=3y → ∵DM 2 ?x=x0 ?x0=x 代入 x2+y2=4 0 0 x2 y 2 得, 4 + 9 =1. , 第 18 页 共 21 页 → F → (2)①当直线 AB 的斜率不存在时,显然F2A· 2B=-4, ②当直线 AB 的斜率存在时,不妨设 AB 的方程为:y=kx+ 5, ?y=kx+ 5 由?x2 y2 ? 4 + 9 =1 得,(9+4k2)x2+8 5kx-16=0, 不妨设 A1(x1,y1),B(x2,y2),则 ?x +x =-8 5k ? 9+4k ? -16 ?x x =9+4k ? 1 2 2 1 2 2 , → F → F2A· 2B=(x1,y1+ 5)· 2,y2+ 5)=(x1,kx1+2 5)· 2,kx2+ (x (x 2 5)=(1+k2)x1x2+2 5k(x1+x2)+20 -16?1+k2? -80k2 -96k2-16 = + +20= +20 9+4k2 9+4k2 9+4k2 200 =-4+ , 9+4k2 200 200 ∵k2≥0,∴9+4k2≥9,∴0< 2≤ 9 , 9+4k → F → 164 ∴-4<F2A· 2B≤ 9 , 164 → F → 综上所述,F2A· 2B的取值范围是(-4, 9 ]. 25. 在平面直角坐标系内,已知两点 A(-1,0)、B(1,0),若将动点 P(x, y)的横坐标保持不变, 纵坐标扩大到原来的 2倍后得到点 Q(x, 2 → BQ → y),且满足AQ· =1. (1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; 2 → (2)过点 B 作斜率为- 2 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,且OM 第 19 页 共 21 页 → → +ON+OH=0,又点 H 关于原点 O 的对称点为点 G,试问 M、G、 N、H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请 说明理由. [解析] (1)设点 P 的坐标为(x,y),则点 Q 的坐标为(x, 2y), → → 依据题意得,AQ=(x+1, 2y),BQ=(x-1, 2y). → BQ → ∵AQ· =1,∴x2-1+2y2=1. x2 2 ∴动点 P 所在曲线 C 的方程是 2 +y =1. 2 (2)因直线 l 过点 B,且斜率为 k=- 2 , 2 ∴l:y=- 2 (x-1), ? 联立方程组? 2 ?y=- 2 ?x-1? 设 M(x1,y1)、N(x2,y2), x2 2 2 +y =1 ,消去 y 得,2x2-2x-1=0. ?x1+x2=1, ∴? 1 x1x2=-2, ? 2 2 ∴y1+y2=- 2 (x1-1)- 2 (x2-1) 2 2 =- 2 (x1+x2)+ 2= 2 . → → → → 由OM+ON+OH=0 得,OH=(-x1-x2,-y1-y2), 2 即 H(-1,- 2 ), 第 20 页 共 21 页 2 而点 G 与点 H 关于原点对称,∴G(1, 2 ), 2 设线段 MN、GH 的中垂线分别为 l1 和 l2,kGH= 2 ,则有 2 1 l1:y- 4 = 2(x-2),l2:y=- 2x. ?y- 2= 2?x-1?, 4 2 联立方程组? ?y=- 2x 1 2 解得 l1 和 l2 的交点为 O1(8,- 8 ). 因此,可算得|O1H|= |O1M|= 9 3 2 3 11 ?8?2+? 8 ?2= 8 , 1 2 3 11 ?x1-8?2+?y1+ 8 ?2= 8 . 1 2 所以 M、G、N、H 四点共圆,且圆心坐标为 O1(8,- 8 ),半径 3 11 为 8 . 第 21 页 共 21 页

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